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Fractal por el metodo de Newton Raphson

El metodo de Newton Raphson para generar fractales utiliza dos funciones, una derivada de la otra, bajo la formula:

 Xn+1 = Xn - F(Xn) / F'(Xn)

 Se termina de iterar comparando contra un epsilon con un valor tal como 0.00000001, si la diferencia (en valor absoluto) entre Xn y Xn1 es menor que ese limite.
 Existen varias condiciones para relacionar ese par de funciones. El experimento de hoy, fue hacer pasar los puntos de un plano de numeros Complejos como valores iniciales (X0), si la ecuacion convergia a 1 se pintaba de algun color el punto, de acuerdo a la velocidad de convergencia sobre una paleta de unos 130 tonalidades y si nunca convergia despues de 100 o 200 iteraciones se pintaba el punto de negro.

Decidi usar cualquier tipo de funciones Ex: cos(Z)/sen(Z) o sen(Z)/cos(Z), esperando sacar algun fractal de todo ello. Los senos y cosenos estan OK, y dan unas imagenes interesantes pero no espectaculares, son buenas funciones ya que el uno es derivada del otro, pero con animo exploratorio decidi probar con 2 funciones cualquiera y por casualidad utilice tangente y arcoTangente (versiones  complejas) y el resultado califica como un "cuasiFractal" o un "Fractaloide".

He decidido llamarlo "Fractal de Schlecter"



Ejemplo del fractal de Schelecter con un epsilon tendiente a cero y 500 iteraciones



Existen varios metodos para colorear un plano complejo, tambien puede asignarse un color a la fase (angulo) del punto complejo o su radio (la magnitud)

Fractal de Schlecter coloreado en fase:
b) Coloreado en magnitud

Otra manera de colorear los puntos del plano complejo (los pixel de la pantalla) seria directamente manipulando la cantidad de rojo, verde y azul, o sistema RGB, en este caso, se asigno r-a la fase, g-a la norma y b- a la iteracion, la grafica resultante tiene caracteristicas artisticas


En el 2007, Daniel Radford,  creo el cuadro 'Tales from the trip', una imagen de caracteristicas muy sutiles. Para hacer el fractal es claro que el artista se inspiro del arcoTangente/Tan. Observen el aire de familia con el recien descubierto fractal de Schlecter


Aqui se puede ver el cuasifractal, si usamos cos/sen bajo el mismo metodo (nota: el par hiperbolico da exactamente igual pero rotado 90 grados)



Ejemplo del metodo de Newton Raphson (en el plano complejo) usando arcoCoseno y Seno, es una imagen bellisima

Para efectos de comparacion presento un set de Mandelbrot producido con el mismo software

Set de Mandelbrot a la potencia 7, aparece claramente un copo de nieve Hexagonal, y menos colores.


Comments

  1. Interesante! Que software utiliza para las pruebas realizadas??
    Le comparto el siguiente post:
    http://quasartechsciencie.blogspot.com/2017/08/la-geometria-fractal-y-el-caos.html

    ReplyDelete

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